Topología (en galego) .- Licenciatura en Matemáticas

Enviar

A topoloxía estuda a continuidade. Mentres a xeometría métrica ordinaria trata das propiedades que son invariantes polos movementos, na topoloxía estúdanse aquelas propiedades xeométricas invariantes por deformacións continuas. De feito, a topoloxía pódese describir como a rama das matemáticas que se ocupa das propiedades que son invariantes por cambio de tamaño ou forma, producidas por estiramentos, encollementos ou calquera tipo de distorsión.

Por exemplo, en topoloxía, unha circunferencia, unha elipse e un cadrado son a mesma cousa, e unha esfera é o mesmo que un elipsoide ou un cubo. Dise que un topólogo é un matemático que non distingue un donuts dunha taza de café.

* Introduci-las nocións básicas de espazos topolóxicos, espazos métricos e continuidade.
* Construir novos espazos topolóxicos mediante produtos e cocientes.
* Coñece-las propiedades topolóxicas básicas: de separación, conexidade e compacidade.

Temario

1. Espazos topolóxicos e espazos métricos:

Topoloxías: espazos topolóxicos; abertos. Pechados. Bases. Veciñanzas. Bases locais. Métricas nun conxunto: espazos métricos. Métricas equivalentes. Metrizabilidade. Interior, clausura e fronteira. Espazos de Hausdorff. Propiedades de numerabilidade. Sucesións converxentes. Sucesións de Cauchy en espazos métricos. Topoloxía relativa: subespazos.

2. Continuidade:

Aplicacións continuas. Aplicacións abertas e pechadas. Homeomorfismos e propiedades topolóxicas. Restriccións. Aplicacións combinadas. Topoloxías inducidas. Aplicacións isométricas.

3. Suma e produto de espazos topolóxicos:

Topoloxía suma. Produto finito de espazos topolóxicos; a topoloxía produto. Produtos e continuidade. Propiedades dos produtos.

4. Espazos cocientes:

Identificacións. A topoloxía cociente. Exemplos de espazos cocientes.

5. Conexidade:

Espazos topolóxicos conexos. Compoñentes conexas. Espazos conexos por camiños. Conexidade local.

6. Compacidade:

Espazos topolóxicos compactos. Compacidade e continuidade. Produto de espazos compactos. Compacidade local. Compactificación.

7. Espazos normais:

O problema de extensión dunha aplicación continua. Retraccións. Espazos normais. Lema de Urysohn. Teorema de extensión de Tietze.

8. Compacidade e compleción en espazos métricos:

Compacidade secuencial. Propiedade de Bolzano-Weierstrass. Caracterizacións da compacidade en espazos métricos. Completamento dun espazo métrico. Teorema de compleción. O espazo R como completamento de Q.